신발끈 공식을 증명해보자

백준 16995번 문제를 풀다가 신발끈 공식의 특성(정확히는 외적의 특성)이 이용되는 것을 알게 되었다.

앞으로도 이런 기하 문제를 자유자재로 다루기 위해서는 외적과 신발끈 공식에 대해 완전한 이해를 하고 있어야 한다는 것을 알게 되었다.

 

외적

두 개의 벡터가 있으면 외적으로 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.

원점을 O라고 잡고, 삼각형 OAB의 넓이를 구해보자.

 

OA, OB벡터 각각에 대해 외적을 이용하면 삼각형의 넓이가 다음과 같이 됨이 알려져있다.

 

그런데, 어차피 원점이 껴있으므로 넓이의 식은 A, B 두 개의 점의 성분들로만 표현이 된다는 것을 알 수 있다.

 

그렇다면 여기서 우리가 다음과 같이 새롭게 정의를 해보자.

$x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}$은 벡터 AB의 외적이다. (실제로 이렇게 말을 하는지는 모르겠다.)

 

그러니까, 만약 벡터 AB가 아니라 벡터 BA에 대해서 위 연산(외적)을 적용하면 부호가 반대가 된다.

 

비록 계수 1/2를 곱하지는 않았지만, 앞으로 우리는 이 외적 연산을 삼각형의 부호있는 넓이라고 생각해볼 수 있다.

방향은 우리가 정의하기를 반시계 방향, 즉 가고있는 방향의 왼쪽에 도형이 있다면 양수인 것이고 오른쪽이라면 음수인 것이다.

절대적으로 양수인지 음수인지는 중요하지 않지만 경로 기준 왼쪽과 오른쪽이 부호가 다르다는 사실은 중요하다.

 

 

신발끈 공식

그린정리와 선적분 등으로 AP시간에 증명한 적이 있다.

하지만 우리는 그냥 기하적인 해석으로 증명을 해보자.

 

다음과 같은 오각형 ABCDE를 생각해보자.

 

원점이 어디있는지는 모르겠다. 그러니까 일단은 원점이 오각형 내부에 있다고 해보자.

 

 

그러면 오각형의 넓이는 다음과 같이 삼각형 5개로 쪼갤 수 있다.

 

 

 

모든 변에 대해서 원점이 왼쪽에 있다. 그렇다면, 이 삼각형들은 각각의 변에 대해 반시계방향으로 위에서 정의한 외적을 해준 것과 같다!

즉, 5개의 삼각형의 단순 넓이의 합이 전체 넓이가 되는 것이다.

 

 

만약 원점이 오각형 밖에 있었다고 하면 어떻게 될까?

 

 

마찬가지로 반시계 방향으로 외적을 할 것인데,

ABO와 BCO는 음수의 넓이를 가진다!

 

그러니까 5개의 삼각형에서 ABO, BCO 넓이를 빼주면

그림에서도 볼 수 있듯 오각형의 넓이가 된다.

 

 

 

이런 방식으로, 일반적으로 볼록 다각형에 대해서 신발끈 공식을 증명할 수 있다.

 

과연 이 아이디어를 어떻게 창의적으로 써먹을 수 있을까?

이는 나중에 올릴 16995번 문제의 풀이에서 확인하도록 하자.